Funkcję
daną wzorem:
gdzie
są liczbami danymi i 
nazywamy funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym.Liczby
nazywamy współczynnikami funkcji kwadratowej.Jednomian kwadratowy
Jeśli
, to funkcję
nazywamy jednomianem kwadratowym.
Wykresem jednomianu kwadratowego jest parabola. Punkt
, zwany wierzchołkiem paraboli, dzieli tę parabolę na dwie części zwane ramionami.
Wykres jednomianu kwadratowego
dla 
Wykres jednomianu kwadratowego
dla 
Wykresem każdej funkcji kwadratowej jest parabola, której położenie w układzie współrzędnych zależy od wartości współczynników
.Postacie trójmianu kwadratowego
1. Postać ogólna:
, dla 
2. Postać kanoniczna
Każdy trójmian kwadratowy można przedstawić w tzw. postaci kanonicznej. Mianowicie:
Wyrażenie w liczniku ułamka:
nazywamy wyróżnikiem trójmianu kwadratowego i oznaczamy symbolem 
(delta).
Zatem postać kanoniczna trójmianu kwadratowego jest następująca:
Przyjmując w powyższym wzorze:
oraz 
otrzymujemy:
Wynika stąd, że wykres trójmianu kwadratowego
jest parabolą będącą przesunięciem wykresu jednomianu
o wektor 
3. Postać iloczynowa.
Jeżeli wyróżnik trójmianu kwadratowego jest nieujemny (
), to korzystając z postaci kanonicznej, można trójmian kwadratowy rozłożyć na czynniki liniowe:
Przyjmując oznaczenia:
otrzymujemy:
Dla
otrzymujemy:
Reasumując:
Dla
trójmian kwadratowy może być przedstawiony w następujących postaciach:Postać ogólna |
 |
||
Postać kanoniczna |
 lub  , gdzie  i  |
||
Postać iloczynowa |
 |
 |
 |
nie ma postaci iloczynowej |
 |
 |
|
Wzory Viete'a
Jeśli istnieją pierwiastki trójmianu kwadratowego, to:
Szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej
Szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej przedstawionej w postaci ogólnej:
Aby wystarczająco dokładnie naszkicować parabolę należy:
1. Określić skierowanie ramion paraboli:
dla
ramiona skierowane do góry,dla
ramiona skierowane do dołu.2. Obliczyć miejsca zerowe funkcji (lub stwierdzić, że nie istnieją).
3. Obliczyć współrzędne wierzchołka paraboli.
4. Wyznaczyć rzędną punktu przecięcia paraboli z osią OY.
Wykres funkcji
dla 
Przykład:
Naszkicuj wykres funkcji
Rozwiązanie:
1.
, więc parabola ma ramiona skierowane do dołu.2.
, 
. Miejscami zerowymi funkcji są
i 
.3. Współrzędne wierzchołka:
.4. Punkt przecięcia z osią OY:
Teraz można już naszkicować parabolę:
Własności funkcji kwadratowej
Własności funkcji kwadratowej
, dla a |
|
 |
 |
|
Dziedzina |
 |
||
Zbiór wartości |
 |
 |
|
Największa wartość funkcji |
Nie istnieje |  |
|
| Najmniejsza wartość funkcji |  |
Nie istnieje |
|
| Monotoniczność |  |
rosnąca dla  malejąca dla  |
|
| Miejsca zerowe |  , nie istnieją, , jedno   , dwa  |
||
Własności wykresu funkcji kwadratowej
| Parametr |  |
 |
| Ramiona paraboli | Skierowane do góry | Skierowane do dołu |
| Oś symetrii paraboli |  |
|
| Współrzędne wierzchołka paraboli |  |
|
Położenie paraboli w układzie współrzędnych zależy od:
1. znaku współczynnika
, który warunkuje skierowanie ramion paraboli,2. wartości wyróżnika
, która warunkuje ilość punktów przecięcia paraboli z osią OX:-dla
parabola leży pod ( 
) lub nad ( 
) osią OX, nie ma z osią OX punktów wspólnych,- dla
parabola jest styczna do osi OX,- dla
parabola przecina oś OX w dwóch punktach.Rożne możliwości położenia paraboli w układzie współrzędnych przedstawia rysunek:
