Funkcję


gdzie


Liczby

Jednomian kwadratowy
Jeśli


nazywamy jednomianem kwadratowym.
Wykresem jednomianu kwadratowego jest parabola. Punkt


Wykres jednomianu kwadratowego



Wykres jednomianu kwadratowego


Wykresem każdej funkcji kwadratowej jest parabola, której położenie w układzie współrzędnych zależy od wartości współczynników

Postacie trójmianu kwadratowego
1. Postać ogólna:


2. Postać kanoniczna
Każdy trójmian kwadratowy można przedstawić w tzw. postaci kanonicznej. Mianowicie:


Wyrażenie w liczniku ułamka:



Zatem postać kanoniczna trójmianu kwadratowego jest następująca:

Przyjmując w powyższym wzorze:



Wynika stąd, że wykres trójmianu kwadratowego



3. Postać iloczynowa.
Jeżeli wyróżnik trójmianu kwadratowego jest nieujemny (



Przyjmując oznaczenia:

otrzymujemy:

Dla


Reasumując:
Dla

Postać ogólna |
![]() |
||
Postać kanoniczna |
![]() ![]() ![]() ![]() |
||
Postać iloczynowa |
![]() |
![]() |
![]() |
nie ma postaci iloczynowej |
![]() |
![]() |
Wzory Viete'a
Jeśli istnieją pierwiastki trójmianu kwadratowego, to:

Szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej
Szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej przedstawionej w postaci ogólnej:

Aby wystarczająco dokładnie naszkicować parabolę należy:
1. Określić skierowanie ramion paraboli:
dla

dla

2. Obliczyć miejsca zerowe funkcji (lub stwierdzić, że nie istnieją).
3. Obliczyć współrzędne wierzchołka paraboli.
4. Wyznaczyć rzędną punktu przecięcia paraboli z osią OY.

Wykres funkcji


Przykład:
Naszkicuj wykres funkcji

Rozwiązanie:
1.

2.


Miejscami zerowymi funkcji są


3. Współrzędne wierzchołka:

4. Punkt przecięcia z osią OY:

Teraz można już naszkicować parabolę:

Własności funkcji kwadratowej
Własności funkcji kwadratowej

|
![]() |
![]() |
|
Dziedzina |
![]() |
||
Zbiór wartości |
![]() |
![]() |
|
Największa wartość funkcji |
Nie istnieje | ![]() |
|
Najmniejsza wartość funkcji | ![]() |
Nie istnieje |
|
Monotoniczność | ![]() |
rosnąca dla ![]() malejąca dla ![]() |
|
Miejsca zerowe | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Własności wykresu funkcji kwadratowej
Parametr | ![]() |
![]() |
Ramiona paraboli | Skierowane do góry | Skierowane do dołu |
Oś symetrii paraboli | ![]() |
|
Współrzędne wierzchołka paraboli | ![]() |
Położenie paraboli w układzie współrzędnych zależy od:
1. znaku współczynnika

2. wartości wyróżnika

-dla



- dla

- dla

Rożne możliwości położenia paraboli w układzie współrzędnych przedstawia rysunek:
