Jednowymiarowe równanie falowe

Demonstracja rozwiązań jednowymiarowego równania falowego z ustalonymi warunkami brzegowymi.

pokaż/ukryj opis

Jednowymiarowe równanie falowe jest równaniem różniczkowym cząstkowym, które mówi nam o tym, jak fala rozchodzi się w czasie. Możemy sobie wyobrazić strunę łączącą dwa unieruchomione punkty. Każdy punkt struny ma wychylenie, \( y(x,t) \), które zmienia się w zależności od jego położenia w poziomie, \( x \) i czasu, \( t \). Fala musi spełniać następujące równanie:

\[ \frac{\partial^2y}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} \]

gdzie \( c \) oznacza prędkość rozchodzenia się fali w strunie. W kategoriach fizycznych to równanie mówi nam, że pionowe przyspieszenie punktu jest proporcjonalne do tego, jak zakrzywiona jest struna w tym punkcie.

Rozwiązania równania falowego w dużej mierze zależą od kształtu i prędkości struny w chwili \( t = 0 \). Powyższe demo pozwala wybrać kilka różnych warunków początkowych, w tym fale stojące i biegnące.

Warto zauważyć, że gdy warunki początkowe są nieruchome, natychmiast po rozpoczęciu animacji rozwiązanie rozkłada się na dwie odrębne fale, poruszające się w przeciwnych kierunkach.

Równie interesujący jest fakt, że ustalenie punktów końcowych struny powoduje, że fala obraca się do góry nogami i odbija się w przeciwnym kierunku, gdy osiągnie granicę.

Animacje falowe również demonstrują efekt interferencji, który występuje, gdy dwie fale nakładają się jedna na drugą. Wychylenia sumują się, dając falę wypadkową. Efekt ten jest szczególnie zauważalny dla dwóch biegnących impulsów gaussowskich: ponieważ te dwa impulsy są dokładnie równe i przeciwne, jest moment, kiedy struna jest idealnie płaska, gdy impulsy się bezpośrednio pokrywają.

To demo używa metod numerycznych do znalezienia rozwiązań równania różniczkowego cząstkowego, co oznacza, że jeśli symulacja jest przez pewien czas uruchomiona, drobne błędy w obliczeniach zaczynają się kumulować, sprawiając, że fala wygląda na nieco zniekształconą. Jeśli zauważysz to, ponowne uruchomienie symulacji rozwiąże problem.

Autor