Wektory w przestrzeni 3D
Interaktywne obrazy wektorów w przestrzeni trójwymiarowej. Zobacz jak wygląda suma, różnica i iloczyn wektorowy dwóch wektorów.
Powyższe demo pozwala wprowadzić do trzech wektorów, poprzez wprowadzenie ich współrzędnych [x, y, z]. Uwaga, w tym narzędziu separatorem dziesiętnym jest kropka. Kliknięcie przycisku rysowania, spowoduje wyświetlenie wektorów na wykresie (skala wykresu automatycznie dostosuje się do wielkości wektorów). Można przeciągać diagram, zmieniając perspektywę i kółkiem myszy powiększać go lub pomniejszać. Kliknięcie końca wektora pokaże jego współrzędne.
Demo ma także możliwość pokazania 3 innych wektorów, które można obliczyć z dwóch pierwszych wektorów wprowadzonych. Pierwszym z nich jest wektor wypadkowy (suma), uzyskiwany gdy dodamy do siebie odpowiednie współrzędne każdego wektora. Jeśli wypadkową jest \( \textbf{c} \), to
\[ \textbf{c} = \textbf{a} + \textbf{b} \] \[ \left( \begin{array}{c} c_x \\ c_y \\ c_z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a_x \\ a_y \\ a_z \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} b_x \\ b_y \\ b_z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a_x + b_x \\ a_y + b_y \\ a_z + b_z \end{array} \right) \]W podobny sposób uzyskamy wektor różnicy, odejmując od siebie odpowiednie współrzędne \( \textbf{d} \),
\[ \textbf{d} = \textbf{a} - \textbf{b} \] \[ \left( \begin{array}{c} d_x \\ d_y \\ d_z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a_x \\ a_y \\ a_z \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} b_x \\ b_y \\ b_z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a_x - b_x \\ a_y - b_y \\ a_z - b_z \end{array} \right) \]Na koniec, iloczyn wektorowy jest zdefiniowany jako
\[ \textbf{e} = \textbf{a} \times \textbf{b} = \lvert a \rvert\ \lvert b \rvert\ \sin(\theta)\hat{n} \] \[ \left( \begin{array}{c} e_x \\ e_y \\ e_z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a_x \\ a_y \\ a_z \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} b_x \\ b_y \\ b_z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a_yb_z - a_zb_y \\ a_zb_x - a_xb_z\\ a_xb_y - a_yb_x \end{array} \right) \]Geometrycznie rzecz biorąc wartość iloczynu wektorowego jest równa iloczynowi wartości \( \textbf{a} \) i \( \textbf{b} \) razy sinus kąta między nimi. Iloczyn wektorowy ma kierunek \( \hat{n} \), wektora normalnego do płaszczyzny, w której znajdują się \( \textbf{a} \) i \( \textbf{b} \). Jeśli dwa wektory mają ten sam kierunek, to ich iloczyn wektorowy będzie wynosił zero. Wypróbuj powyżej!