Drgania wymuszone wahadła z tłumieniem
Wahadło jest tłumione przez siły oporu, co oznacza, że z czasem zwolni, jeśli nie będzie siły napędowej. Aby to zobaczyć, spróbuj ustawić amplitudę napędu na zero, żeby jedynymi siłami zewnętrznymi były tłumienie i grawitacja.
Siła napędowa pokazana jest w symulacji jako zakrzywiona strzałka. Długość strzałki odpowiada wartości momentu siły napędowej w danym momencie. Kierunek strzałki, zgodnie lub przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara, pokazuje kierunek tej siły. Można zmieniać amplitudę (maksymalną wartość) siły napędowej oraz jej częstotliwość.
Nie wszystkie kombinacje parametrów (długość, grawitacja, amplituda napędu, częstość kołowa napędu, tłumienie) prowadzą do chaosu. Wiele kombinacji daje prostsze, powtarzające się zachowania. Kliknij przycisk „pojedyncza pętla” powyżej, aby to zobaczyć. Trzeba poczekać około minuty, aby symulacja znalazła się w pętli.
Istnieje zjawisko znane jako bifurkacja podwojenia okresu, gdzie powolne zwiększanie jednego z parametrów, takich jak amplituda napędu, powoduje podwojenie liczby pętli w powtarzającym się zachowaniu. Niektóre z przycisków powyżej stopniowo zmieniają amplitudę napędu, dzięki czemu można zaobserwować podwojenie tego okresu. Na przykład, otrzymujemy pojedynczą pętlę przy amplitudzie napędu 1.35, podwójną pętlę przy 1.45, poczwórną pętlę przy 1.47 i ostatecznie chaos przy 1.50
Po wystarczającej liczbie podwojeń, układ staje się chaotyczny. Kliknij jeden z przycisków oznaczonych „chaos”, aby ustawić odpowiednie parametry i zobaczyć to. Ciekawą cechą tego chaotycznego zachowania jest to, że nie jest całkowicie losowe. Chociaż nie można przewidzieć dokładnego stanu układu po określonym czasie w przyszłości, możliwe jest wykazanie, że będzie podążał za skomplikowanym wzorem. Te wzory to fraktale, które są wzorami, które powtarzają się, gdy je powiększamy.
Fizyka
zmienne wahadła
Wahadło jest modelowane jako masa punktowa na końcu bezmasowego pręta. Tłumienie jest proporcjonalne do prędkości kątowej wahadła. Działa również zewnętrzna siła wymuszająca, która zapewnia okresowy moment obrotowy. Definiujemy następujące zmienne:
- θ = kąt wahadła ( 0 = pion)
- ω = θ' = prędkość kątowa
- R = długość pręta
- m = masa wahadła
- g = przyspieszenie grawitacyjne
- b = stała tłumienia
- A = amplituda siły wymuszającej
- k = stała związana z częstotliwością siły wymuszającej
- t = czas w sekundach
Wyprowadzimy równanie ruchu wahadła korzystając z drugiej zasady dynamiki, ruchu obrotowego bryły sztywnej wokół ustalonej osi, która ma postać
| I α = ∑ τ | (1) |
- ∑ τ = wypadkowy moment siły
- I = moment bezwładności
- α = θ'' = przyspieszenie kątowe
Moment bezwładności dla danej osi obrotu to I = m R2 . Moment siły można obliczyć jako iloczyn wektorowy wektora położenia i siły.
- moment siły grawitacji τ = −R m g sin θ .
- moment siły oporu τ = −b ω .
- moment siły wymuszającej τ = A cos(k t) .
Tak więc równanie (1) przyjmuje postać
m R2 α = −R m g sin θ − b ω + A cos(k t)
co możemy zapisać jako
| θ'' = − g⁄R sin θ + | −b θ' + A cos(k t) |
| m R2 |
Jest to równanie ruchu wahadła tłumionego z siłą wymuszającą.
Rozwiązanie numeryczne
Aby rozwiązać równania ruchu numerycznie, żebyśmy mogli sterować symulacją, stosujemy metodę Rungego Kutty do rozwiązywania układów równań różniczkowych zwyczajnych. Najpierw definiujemy prędkość kątową ω = θ' . Dodajemy również równanie dla czasu, ponieważ czas występuje jawnie w równaniach w sile wymuszającej A cos(k t) . Następnie możemy zapisać powyższe równanie drugiego rzędu jako trzy równania pierwszego rzędu.
t' = 1
θ' = ω
| ω' = − g⁄R sin θ + | −b ω + A cos(k t) |
| m R2 |
Jest to forma, której potrzebujemy, aby użyć metody Rungego-Kutty.
Jednostki miary
Symulacje myPhysicsLab nie mają określonych jednostek miary, takich jak metry, kilogramy, sekundy. Jednostki są bezwymiarowe, mogą być interpretowane, jak chcesz, ale muszą być spójne w symulacji.
Na przykład, jeśli traktujemy jednostkę odległości jako jeden metr i jednostkę czasu jako jedną sekundę, to jednostka prędkości musi wynosić jeden metr/sekundę.
Dostosuj i udostępnij
Istnieje kilka sposobów na odtworzenie określonej konfiguracji eksperymentalnej. Najłatwiej jest kliknąć przycisk „udostępnij”.
- Zmodyfikuj symulację, zmieniając parametry, takie jak grawitacja, tłumienie oraz przeciągając obiekty za pomocą myszy.
- Kliknij przycisk „udostępnij”. Skopiuj adres URL z okna dialogowego.
- Udostępnij adres URL lub zapisz go w pliku tekstowym do późniejszego wykorzystania.
Gdy odbiorca kliknie adres URL, EasyScript osadzony w tym adresie powieli warunki, które zostały ustawione.
Zobacz Dostosowywanie symulacji myPhysicsLab (en) jak dodatkowo programować symulacje z bezpośrednim wykorzystaniem JavaScript lub EasyScript.
Opublikowano po raz pierwszy we wrześniu 2001 roku.
