Fale kuliste
Interaktywna wizualizacja fali kulistej. Zobacz, jak liczba falowa, częstotliwość i amplituda wpływają na jej zachowanie.
Często równania fal zapisane są w złożonej formie wykładniczej, ponieważ ułatwia to wykonywanie działań algebraicznych. Równanie dla fali kulistej jest następujące:
\[ u(r,t) = \frac{A}{r}e^{i(\omega t \pm kr)} \] \( u(r,t) \) jest wychyleniem z położenia równowagi cząsteczki ośrodka w określonym punkcie w przestrzeni \( r \) i czasie \( t\). \( A \) to amplituda fali, \(\omega \) to częstość kołowa, a \( k \) to liczba falowa.Kiedy nadejdzie czas na zobrazowanie równania, używamy tylko części rzeczywistej. Przekształcenie powyższego równania za pomocą wzoru Eulera daje nam:
\[ u(r,t) = \frac{A}{r}\big( \cos{(\omega t \pm kr}) + i \sin{(\omega t \pm kr)} \big) \] \[ \Re[u(r,t)] = \frac{A}{r}\cos{(\omega t \pm kr}) \]Aby przekształcić to ze współrzędnych sferycznych do współrzędnych kartezjańskich, użyj poniższej zależności:
\[ r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]Demonstracja u góry strony pokazuje wykres sferycznej fali wzdłuż osi \(OX\) i \(OY\) ustalając \(z\) na 0. Czerwone obszary odpowiadają wartościom dodatnim, a niebieskie ujemnym. Jaśniejsze kolory oznaczają większe wychylenia, a ciemniejsze, mniejsze. Czerń wskazuje wartość zero.
Można zmieniać liczbę falową, częstość kołową i amplitudę, aby obserwować, w jaki sposób kształt fali zależy od tych wielkości. Dodatkowo, zaznaczając pole "animuj", demonstracja pokaże zmiany w czasie. Ponieważ równanie fali ma dwie formy (reprezentowane przez symbol \( \pm \)), rozwijane okno pozwala wybrać wersję, którą chcesz wyświetlić. Jedna wersja daje fale rozbieżne, poruszające się na zewnątrz od punktu, podczas gdy druga pokazuje fale poruszające się i zbieżne w punkcie.
Wersja demonstracyjna zawiera również opcję wyboru rozdzielczości od 1 (najwyższa jakość) do 3 (najniższa jakość). Wynika to z faktu, że obliczenie każdego piksela na obrazie w wysokiej rozdzielczości może zająć kilka milisekund, które spowodują niską liczbę klatek animacji. Zmniejszenie rozdzielczości zmniejsza liczbę wymaganych obliczeń, dzięki czemu poprawia się płynność animacji.