Poznajemy równania

Zagadnienia

• Rozwiązywanie równań
• Nierówności
• Działania odwrotne

Opis

Interaktywna aplikacja rozwija umiejętności rozwiązywania równań zaczynając od obiektów, dalej liczb całkowitych, a następnie zmiennych. Na koniec uczniowie mogą grać w grę i eksperymentować z zastosowaniem działań prowadzących do wyznaczenia niewiadomej. Sprawdź co znaczy równość lub nierówność wyrażeń algebraicznych przez interakcję z obiektami na wadze.

PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, https://phet.colorado.edu Na licencji CC BY 4.0

W opracowaniu niniejszego poradnika wykorzystano materiały PhET: Strona źródłowa symulacji, Teacher Tips (McGarry, sierpień 2023)

W szablonie strony wykorzystano kod html/css: phydemo.app.

Poziom

Szkoła podstawowa, szkoła średnia

Przykładowe cele nauczania

• Przekształcaj i rozwiązuj równania algebraiczne, stosując własności liczb rzeczywistych (w szczególności własności działań odwrotnych do dodawania i mnożenia) oraz własności równości
• Rozwiązuj równania algebraiczne i manipuluj nimi, podstawiając różne wartości zmiennej
• Użyj modelu równowagi, aby rozwiązać równanie wyznaczając niewiadomą i uzasadnij swoje strategie rozwiązywania
• Rozwiąż równanie używając tylko operacji uniwersalnych

Przykładowe materiały teoretyczne

• W równowadze – czyli wstęp do równań (ZPE)
• Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą (ZPE)
• Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania. (ZPE)
• Rozwiązywanie równań (ZPE)
• Rozwiązywanie równań (ZPE)
• Rozwiązywanie równań (ZPE)
• Rozwiązywanie równań (ZPE)
• Równania równoważne – wstęp (ZPE)
• Równania równoważne (ZPE)
• Rozwiązywanie podstawowych równań i nierówności (jedna zmienna, liniowe) (Khan Academy)
• Rozwiązywanie równań i nierówności (Khan Academy)

Sterowanie symulacją

Symulacja Poznajemy równania pozwala uczniom odkrywać warunki, które skutkują równością i nierównością, efekt zastosowania operacji do równania lub nierówności oraz rozwiązywać proste równania.

Ekran Podstawy (link bezpośredni)

Na ekranie Podstawy uczniowie mogą odkrywać relacje równości i tworzyć funkcjonalne definicje równości i nierówności.

Ekran Liczby (link bezpośredni)

Na ekranie Liczby uczniowie mogą włączyć blokadę, aby wykonać tę samą operację po obu stronach wagi i sprawdzić, co dzieje się ze stanem równości.

Ekran Zmienne (link bezpośredni)

Na ekranie Zmienne uczniowie badają, w jaki sposób różne wartości zmiennej wpływają na stan równości.

Ekran Działania (link bezpośredni)

Na ekranie Działania uczniowie mogą zbudować nierówność lub równanie i zastosować uniwersalne działania, aby dowiedzieć się, co dzieje się z każdym wyrażeniem, a także odkryć, jak cofnąć działanie.

Ekran Rozwiąż! (link bezpośredni)

W grze uczniowie rozwiązują równania, korzystając z kontroli działań uniwersalnych w celu wyodrębnienia zmiennej.

• Poziom 1: równania jednoetapowe (ax = c, x + b = c lub x/d = c)
• Poziom 2: równania jednoetapowe ze współczynnikami ujemnymi (ax = c lub x/d = c)
• Poziom 3: równania dwuetapowe (ax + b = c)
• Poziom 4: równania wieloetapowe z ułamkami ((a/d)x + b = c lub (a/d)x + (b/d) = c)
• Poziom 5: równania wieloetapowe ze zmiennymi po obu stronach równania (ax + b = mx + n)

Opcje dostosowywania

Poniższe parametry query umożliwiają dostosowanie symulacji i można je dodać, dołączając znak '?' do adresu URL symulacji i oddzielając każdy parametr query znakiem '&'. Ogólny wzorzec adresu URL to: …html?queryParameter1&queryParameter2&queryParameter3

Na przykład, jeśli w symulacji Poznajemy równania chcesz uwzględnić tylko pierwszy i drugi ekran (screens=1,2), z domyślnie otwartym drugim ekranem (initialScreen=2), użyj: https://www.edukator.pl/tik_edukator/equality-explorer_all.html?screens=1,2&initialScreen=2

Aby uruchomić to w języku polskim (locale=pl), adres URL będzie wyglądał następująco: https://www.edukator.pl/tik_edukator/equality-explorer_all.html?locale=pl&screens=1,2&initialScreen=2

Parametr query i opis	Przykładowe linki
gameLevels - określa, które poziomy pojawiają się w grze.	gameLevels=1,2,3
rewardScore - ustawia liczbę zadań, które muszą zostać rozwiązane przed wyświetleniem monitu o wypróbowanie kolejnego poziomu (domyślnie 10).	rewardScore=5
screens - określa, które ekrany są włączone do symulacji i jaka jest ich kolejność. Każdy ekran powinien być oddzielony przecinkiem. Więcej informacji można znaleźć w Centrum pomocy.	screens=2,1 screens=3
initialScreen - otwiera kartę SIM bezpośrednio na określonym ekranie, z pominięciem ekranu głównego.	initialScreen=1 initialScreen=2
locale - określa język symulacji przy użyciu kodów ISO 639-1. Dostępne wersje językowe można znaleźć na stronie symulacji w zakładce Tłumaczenia. Uwaga: działa to tylko wtedy, gdy adres URL symulacji kończy się na “_all.html”.	locale=pl (polski) locale=fr (francuski)
audio - jeśli muted, dźwięk jest domyślnie wyciszony. Jeśli disabled, cały dźwięk jest trwale wyłączony.	audio=muted audio=disabled
allowLinks - jeśli false, wyłącza linki, które prowadzą uczniów do zewnętrznego adresu URL. Domyślnie jest true.	allowLinks=false
supportsPanAndZoom - gdy false, uniemożliwia przesuwanie i powiększanie symulacji za pomocą pinch-to-zoom lub elementów sterujących zoomem przeglądarki. Domyślnie jest true.	supportsPanAndZoom=false

Ułatwienia dostępu

Tryb pełnoekranowy

Po kliknięciu logo PhET (na dole po prawej) pojawia się okno zawierające informacje dotyczące symulacji. Możemy tu zmienić sposób jej wyświetlania.

Klikając Pełny ekran przechodzimy do trybu pełnoekranowego (powrót - klawisz escape).

Wersje offline, niewymagające połączenia z internetem

Dostępne są również wersje symulacji niewymagające połączenia z internetem.

Aplikacja PhET Desktop zawiera wszystkie symulacje HTML5 i Java, w tym ich tłumaczenia, do użytku offline w systemach Windows i macOS (dostępne po zalogowaniu tu). Symulacje HTML5 nie wymagają dodatkowego oprogramowania, natomiast do uruchamiania dowolnych symulacji Java w aplikacji komputerowej jest wymagany Java SE Development Kit 8.

Za symboliczną opłatą możemy pobrać w postaci jednej aplikacji wszystkie materiały PhET, które zostały opublikowane w html5. Telefony, tablety i Chromebooki (z systemem Android): Google Play. iPhone'y i iPady (aplikacja na iOS): App Store

Darmową wersję desktopową tej aplikacji pobierzemy bezpośrednio klikając tu - wersja _pl zawiera polską (domyślną) i angielską wersję językową i tu - wersja _all zawiera angielską (domyślną) i wszystkie inne dostępne wersje językowe lub ze strony PhET (klikając przycisk ze strzałką przy wybranej wersji językowej):

Spostrzeżenia na temat korzystania z aplikacji przez uczniów

• Uczniowie w naturalny sposób poszukują zrównoważonych sytuacji. Zachęcaj, by znajdowali ich jak najwięcej.
• Uczniowie lubią wykonywać operacje w celu tworzenia największych i najmniejszych liczb.
• Uczniowie mogą zdać sobie sprawę, że dana operacja jest "nieproduktywna" lub nie daje dokładnie tego, czego oczekiwali. Zachęć ich do znalezienia operacji, która "cofnie" ich ostatnią operację.

Uproszczenia / założenia modelu

• Poznajemy równania pozwala uczniom budować równania i nierównośc poprzez umieszczanie elementów na szalkach wagi. Szalka ma skończoną liczbę komórek (36), w których można umieszczać elementy. Dwie strony wagi odpowiadają dwóm stronom równania (lub nierówności), które jest pokazane powyżej wagi.
• Każdy ekran umożliwia zapisywanie i przywracanie migawek. Każda migawka zawiera zawartość wagi (w tym położenia wszystkich elementów na wadze) oraz wartości wszystkich zmiennych.
• Ekran Podstawy wprowadza równania przy użyciu wyrażeń odpowiadających obiektom ze świata rzeczywistego (kształtom, owocom, monetom i zwierzętom), których wartości są ukryte.
• Ekran Liczby wprowadza funkcję blokady, aktywowaną za pomocą przycisku kłódki w dolnej środkowej części ekranu. Po zablokowaniu, wprowadzenie zmiany po jednej stronie równania powoduje równoważną zmianę po przeciwnej stronie równania. Na przykład, jeśli uczeń przeciągnie wartość stałą 1 na lewą szalkę, wartość 1 zostanie również przeciągnięta na prawą szalkę. Jeśli uczeń przeciągnie 1 z lewej szalki, a prawa szalka będzie pusta, 1 i -1 zostaną utworzone po prawej stronie; 1 zostanie przeciągnięte, a -1 pozostanie na szalce.
• Ekran Zmienne wprowadza zmienną x i możliwość zmiany jej wartości.
• Równania są budowane przy użyciu stałych (np. 1, -1, 5, 2/3) i zmiennych (np. 5x, -2x). Jeśli współczynnik zmiennej wynosi 1 lub -1, wyświetlany jest odpowiednio x lub -x.
• Ekran Działania wprowadza możliwość stosowania operacji uniwersalnych po obu stronach skali. Operacja uniwersalna składa się z operatora i argumentu. Operatory to dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Operandami są wyrażenia stałe i zmienne. Wyrażenia stałe mają zakres od -10 do 10. Wyrażenia zmienne zawierają zmienną x o zakresie współczynników od -10 do 10. Mnożenie i dzielenie są obsługiwane tylko dla wyrażeń stałych. Dzielenie przez zero nie jest dozwolone.
• Ekran Rozwiąż! to gra, która testuje zdolność ucznia do rozwiązywania równań z jedną niewiadomą. Gra podzielona jest na 5 poziomów, które są stopniowo coraz trudniejsze (patrz wyżej, przy opisie ekranu). Każdy poziom oferuje nieograniczoną liczbę wyzwań, generowanych losowo. Każde wyzwanie zawiera równanie (brak nierówności), a celem jest wyznaczenie x poprzez sprowadzenie równania do postaci x = N lub N = x. Za każde rozwiązane zadanie uczeń otrzymuje jedną gwiazdkę i pojawia się uśmiechnięta buźka. Po rozwiązaniu 10 zadań pojawia się dodatkowa nagroda.
• W trakcie symulacji stałe ułamkowe i współczynniki są zawsze skracane. Np. 4/6 przekształca się w 2/3; -10/2 przekształca się w -5.
• Podczas tworzenia równań stosowane są dwie strategie traktowania wyrazów podobnych:
• Oddzielne wyrazy podobne: wyrazy podobne zajmują oddzielne komórki na wadze i są łączone tylko wtedy, gdy ich suma wynosi zero. Ta strategia jest używana na ekranach Podstawy, Liczby i Zmienne.
• Zredukowane wyrazy podobne: wyrazy podobne są łączone w jednej komórce na wadze. Ta strategia jest używana na ekranach Działania i Rozwiąż!
• Informacje dotyczące założeń modelu można uzyskać tu (en)

Sugestie dotyczące wykorzystania

Wskazówki dotyczące wszystkich symulacji zawarte są w informacjach ogólnych.

Więcej porad dotyczących korzystania z symulacji z uczniami można znaleźć na stronach PhET w sekcji Wskazówki dotyczące korzystania z PhET.

• Badaj zależności proporcjonalne na ekranie Podstawy.
• Korzystając z ekranu Zmienne, ustaw zrównoważone równanie i zminimalizuj wartość zmiennej. Zamień się na komputery z kolegą/koleżanką i wyznacz wartość x.

Przykładowe polecenia

• Znajdź jak najwięcej równań, korzystając z obiektów na ekranie Podstawy.
• Co stanie się z równaniem lub nierównością, jeśli do obu stron dodamy 1 przy włączonej blokadzie? Co się stanie, jeśli dodasz -1 do obu stron przy włączonej blokadzie?
• Wyjaśnij, co się stanie z równaniem, jeśli spróbujesz usunąć 1 z obu stron (przy włączonej blokadzie) przy braku dostępnej 1 z drugiej strony. Dlaczego tak się dzieje?

Zobacz wszystkie opublikowane na stronach PhET aktywności dla Poznajemy równania tutaj (dostęp do materiałów wymaga zalogowania).