Wykresy funkcji kwadratowych

Zagadnienia

• Tworzenie wykresów
• Parabola
• Funkcja kwadratowa
• Wierzchołek

Opis

Aplikacja umożliwia uczniom zapoznanie się z wykresami funkcji kwadratowych.

PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, https://phet.colorado.edu Na licencji CC BY 4.0

W opracowaniu niniejszego poradnika wykorzystano materiały PhET: Strona źródłowa symulacji, Teacher Tips (McGarry, sierpień 2023)

W szablonie strony wykorzystano kod html/css: phydemo.app.

Poziom

Szkoła średnia

Przykładowe cele nauczania

• Opisz, jak zmiana współczynników funkcji kwadratowej zmienia wykres tej funkcji.
• Przewiduj, jak zmieni się przebieg paraboli, jeśli zmienią się współczynniki.
• Określ wierzchołek, oś symetrii, pierwiastki i kierownicę dla wykresu funkcji kwadratowej.
• Wykorzystaj postać kanoniczną funkcji kwadratowej do opisania jej wykresu.
• Opisz związek między ogniskiem i kierownicą a otrzymaną parabolą.
• Przewiduj przebieg paraboli, mając do dyspozycji jej ognisko i kierownicę.

Przykładowe materiały teoretyczne

• Funkcja kwadratowa - pojęcie (ZPE)
• Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie (ZPE)
• Zależności między wartościami współczynników występujących we wzorach funkcji kwadratowej zapisanej w postaci ogólnej i w postaci kanonicznej (ZPE)
• Postać kanoniczna funkcji kwadratowej (ZPE)
• Funkcja kwadratowa (Wikipedia)
• Podsumowanie wiadomości na temat ogniska i kierownicy paraboli (Khan Academy)
• Parabola (AGH)

Sterowanie symulacją

Dowiedz się, w jaki sposób zmieniające się współczynniki we wzorze funkcji kwadratowej zmieniają kształt jej wykresu - paraboli. Zobacz wykresy poszczególnych jednomianów (np. y = bx), aby zobaczyć, jak dodają się generując krzywą wielomianową. Odkryj definicje i własności wierzchołka paraboli, punktów jej przecięcia z osiami układu współrzędnych i osi symetrii. Porównaj wzory funkcji kwadratowej w różnych postaciach. Zdefiniuj parabolę poprzez jej ognisko i kierownicę.

Ekran Badanie (link bezpośredni)

Na tym ekranie uczniowie mogą użyć suwaków zmiany współczynników, aby zbadać wpływ każdego wyrazu funkcji kwadratowej na jej wykres - parabolę.

Ekran Postać ogólna (link bezpośredni)

Na tym ekranie nacisk kładziony jest na wierzchołek, oś symetrii i punkty przecięcia paraboli z osią OX. Uczniowie mogą modyfikować funkcję, ale wartości współczynników są ograniczone do liczb całkowitych.

Ekran Postać kanoniczna (link bezpośredni)

Uczniowie identyfikują związek między wartością parametrów we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej z jej wykresem. Wartości parametrów, które możemy zmieniać, są ograniczone do liczb całkowitych.

Ekran Ognisko i kierownica (link bezpośredni)

Na tym ekranie uczniowie badają własności paraboli związane z jej kierownicą i ogniskiem.

Opcje dostosowywania

Poniższe parametry query umożliwiają dostosowanie symulacji i można je dodać, dołączając znak '?' do adresu URL symulacji i oddzielając każdy parametr query znakiem '&'. Ogólny wzorzec adresu URL to: …html?queryParameter1&queryParameter2&queryParameter3

Na przykład, jeśli w symulacji Wykresy funkcji kwadratowych chcesz uwzględnić tylko pierwszy i drugi ekran (screens=1,2), z domyślnie otwartym drugim ekranem (initialScreen=2), użyj: https://www.edukator.pl/tik_edukator/graphing-quadratics_all.html?screens=1,2&initialScreen=2

Aby uruchomić to w języku polskim (locale=pl), adres URL będzie wyglądał następująco: https://www.edukator.pl/tik_edukator/graphing-quadratics_all.html?locale=pl&screens=1,2&initialScreen=2

Wskazuje, że dostęp do tego dostosowania można uzyskać też z menu Preferencje lub Opcje... w symulacji.

Parametr query i opis	Przykładowe linki
screens - określa, które ekrany są włączone do symulacji i jaka jest ich kolejność. Każdy ekran powinien być oddzielony przecinkiem. Więcej informacji można znaleźć w Centrum pomocy.	screens=2,1 screens=3
initialScreen - otwiera kartę SIM bezpośrednio na określonym ekranie, z pominięciem ekranu głównego.	initialScreen=1 initialScreen=2
locale - określa język symulacji przy użyciu kodów ISO 639-1. Dostępne wersje językowe można znaleźć na stronie symulacji w zakładce Tłumaczenia. Uwaga: działa to tylko wtedy, gdy adres URL symulacji kończy się na “_all.html”.	locale=pl (polski) locale=fr (francuski)
allowLinks - jeśli false, wyłącza linki, które prowadzą uczniów do zewnętrznego adresu URL. Domyślnie jest true.	allowLinks=false
supportsPanAndZoom - gdy false, uniemożliwia przesuwanie i powiększanie symulacji za pomocą pinch-to-zoom lub elementów sterujących zoomem przeglądarki. Domyślnie jest true.	supportsPanAndZoom=false

Menu Preferencje

Gdy adres URL symulacji kończy się na "_all.html", dodatkowo pojawia się ikona menu Preferencje , gdzie w sekcji Lokalizacja możemy dokonać wyboru języka:

Ułatwienia dostępu

Tryb pełnoekranowy

Po kliknięciu logo PhET (na dole po prawej) pojawia się okno zawierające informacje dotyczące symulacji. Możemy tu zmienić sposób jej wyświetlania.

Klikając Pełny ekran przechodzimy do trybu pełnoekranowego (powrót - klawisz escape).

Wersje offline, niewymagające połączenia z internetem

Dostępne są również wersje symulacji niewymagające połączenia z internetem.

Aplikacja PhET Desktop zawiera wszystkie symulacje HTML5 i Java, w tym ich tłumaczenia, do użytku offline w systemach Windows i macOS (dostępne po zalogowaniu tu). Symulacje HTML5 nie wymagają dodatkowego oprogramowania, natomiast do uruchamiania dowolnych symulacji Java w aplikacji komputerowej jest wymagany Java SE Development Kit 8.

Za symboliczną opłatą możemy pobrać w postaci jednej aplikacji wszystkie materiały PhET, które zostały opublikowane w html5. Telefony, tablety i Chromebooki (z systemem Android): Google Play. iPhone'y i iPady (aplikacja na iOS): App Store

Darmową wersję desktopową tej aplikacji pobierzemy bezpośrednio klikając tu - wersja _pl zawiera polską (domyślną) i angielską wersję językową i tu - wersja _all zawiera angielską (domyślną) i wszystkie inne dostępne wersje językowe lub ze strony PhET (klikając przycisk ze strzałką przy wybranej wersji językowej):

Uproszczenia / założenia modelu

• Jako separator dziesiętny używana jest kropka.
• W równaniu kontrolnym (w okienku edycji wzoru funkcji) znaki nie są upraszczane, a parametry \(b, c, x_w, y_w\) wyświetlane są bez nawiasów, także gdy są ujemne.

• Wskaźnik współrzędnych punktów pokazuje współrzędne z dokładnością do jednej setnej. Jeżeli wskazuje punkt należący do krzywej, tło okienka wyświetlającego współrzędne zabarwia się na kolor tej krzywej. W pobliżu krzywej celownik wskaźnika jest do niej przyciągany.
• Na ekranie Badanie używany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci gólnej: \(y = ax^2 + bx + c\). Współczynniki \(a, b, c\) mogą być zmieniane skokowo: \(a\) co jedną setną, \(b, c\) co jedną dziesiątą. Wszystkie są z przedziału [-6,6]. Na ekranie Postać ogólna jest podobnie ale dopuszczone są tylko współczynniki całkowite.
• Na ekranie Postać kanoniczna używany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej: \(y = a(x - x_w)^2 + y_w\). Dopuszczone są tylko parametry całkowite: \(a\) z przedziału [-6,6], \(x_w, y_w\) z przedziału [-9,9].
• Na ekranie Ognisko i kierownica używany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej: \(y = \frac{1}{4p}(x - x_w)^2 + y_w\). Parametry mogą być zmieniane skokowo co jedną dziesiątą, \(p\) w przedziale [-9,9], \(x_w, y_w\) w przedziale [-6,6]. W zapisie równania funkcji przy paraboli a jest zaokrąglane do części tysięcznych.
• Więcej informacji dotyczących założeń modelu można uzyskać tu (en)

Sugestie dotyczące wykorzystania

Wskazówki dotyczące wszystkich symulacji zawarte są w informacjach ogólnych.

Więcej porad dotyczących korzystania z symulacji z uczniami można znaleźć na stronach PhET w sekcji Wskazówki dotyczące korzystania z PhET.

Przykładowe polecenia

• Opisz, w jaki sposób zmiana współczynników funkcji kwadratowej zmienia jej wykres.
• Przewiduj, jak zmieni się wykres funkcji kwadratowej, jeśli zmienisz współczynniki lub wyraz wolny.
• Zidentyfikuj wierzchołek, oś symetrii, punkty przecięcia z osiami i kierownicę paraboli
• Użyj postaci kanonicznej wzoru funkcji kwadratowej do opisania przebiegu jej wykresu.
• Opisz związek między ogniskiem i kierownicą a wynikową parabolą.
• Przewiduj przebieg paraboli, biorąc pod uwagę ognisko i kierownicę.

Wskazówki i polecenia ogólnoklasowe

• Pobaw się na ekranie Badanie przez 5 minut. Jak wartości a, b i c wpływają na przebieg paraboli?
• Opisz jaki wpływ na krzywą ma współczynnik a.
• Opisz jaki wpływ na krzywą ma współczynnik b.
• Opisz wpływ współczynnika c na wykres.
• Korzystając z ekranu Postać ogólna, opisz, ile miejsc zerowych ma funkcja kwadratowa. Czy jest możliwe, aby kiedykolwiek było ich więcej? Czy jest możliwe, aby kiedykolwiek było ich mniej?
• Korzystając z ekranu Ognisko i kierownica, opisz związek między ogniskiem, wierzchołkiem i kierownicą.
• Opisz wpływ parametru p na wykres.
• Co się dzieje z parabolą, gdy p dąży do zera?
• Jak wyglądałaby parabola, gdyby p było bardzo duże?

Zobacz wszystkie opublikowane na stronach PhET aktywności dla Wykresy funkcji kwadratowych tutaj (dostęp do materiałów wymaga zalogowania).