Regresja metodą najmniejszych kwadratów

Zagadnienia

• Regresja liniowa
• Korelacja
• Reszty
• Obserwacja odstająca
• Dane

Opis

Symulacja regresji metodą najmniejszych kwadratów zachęca uczniów do eksploracji danych dotyczących dwóch zmiennych ilościowych, interpretacji współczynnika korelacji, dopasowania funkcji liniowej do różnych zbiorów danych, zrozumienia, w jaki sposób uzyskać linię najlepszego dopasowania oraz określenia, czy dopasowanie liniowe jest właściwe.

PhET Interactive Simulations, University of Colorado Boulder, https://phet.colorado.edu Na licencji CC BY 4.0

W opracowaniu niniejszego poradnika wykorzystano materiały PhET: Strona źródłowa symulacji, Teacher Tips (McGarry, sierpień 2023)

W szablonie strony wykorzystano kod html/css: phydemo.app.

Poziom

Szkoła średnia

Przykładowe cele nauczania

• Interpretuj r (współczynnik korelacji) podczas dodawania, przesuwania lub usuwania punktów danych.
• Zinterpretuj sumę kwadratów reszt podczas ręcznego dopasowywania linii.
• Zinterpretuj sumę kwadratów reszt najlepiej dopasowanej linii, gdy punkt danych jest dodawany, przesuwany lub usuwany.
• Porównaj sumę kwadratów reszt między ręcznie dopasowaną linią a najlepiej dopasowaną linią.
• Określ, czy dopasowanie liniowe jest odpowiednie.

Przykładowe materiały teoretyczne

• Jak dopasować prostą do wyników pomiarów? (ZPE)
• W jakim celu dopasowuje się prostą do wyników pomiarów i jakie informacje można w ten sposób uzyskać? (ZPE)
• Na ile dokładnie można dopasować prostą do wyników pomiarów? (ZPE)
• Dane i modelowanie (Khan Academy)
• Statystyka i prawdopodobieństwo (Khan Academy)
• Metoda najmniejszych kwadratów (Wikipedia)
• Współczynnik korelacji Pearsona (Wikipedia)

Sterowanie symulacją

Ekran symulacji

Stwórz swój własny wykres punktowy lub wykorzystaj dane ze świata rzeczywistego i spróbuj dopasować do niego linię! Dowiedz się, jak poszczególne punkty danych wpływają na współczynnik korelacji oraz linię najlepszego dopasowania.

Opcje dostosowywania

Poniższe parametry query umożliwiają dostosowanie symulacji i można je dodać, dołączając znak '?' do adresu URL symulacji i oddzielając każdy parametr query znakiem '&'. Ogólny wzorzec adresu URL to: …html?queryParameter1&queryParameter2&queryParameter3

Na przykład, jeśli symulację Regresja metodą najmniejszych kwadratów chcesz uruchomić po hiszpańsku (locale=es), z wyłączonymi linkami zewnętrznymi (allowLinks=false), użyj: https://www.edukator.pl/tik_edukator/least-squares-regression_all.html?locale=es&allowLinks=false

Parametr query i opis	Przykładowe linki
locale - określa język symulacji przy użyciu kodów ISO 639-1. Dostępne wersje językowe można znaleźć na stronie symulacji w zakładce Tłumaczenia. Uwaga: działa to tylko wtedy, gdy adres URL symulacji kończy się na “_all.html”.	locale=pl (polski) locale=fr (francuski)
allowLinks - jeśli false, wyłącza linki, które prowadzą uczniów do zewnętrznego adresu URL. Domyślnie jest true.	allowLinks=false

Ułatwienia dostępu

Tryb pełnoekranowy

Po kliknięciu logo PhET (na dole po prawej) pojawia się okno zawierające informacje dotyczące symulacji. Możemy tu zmienić sposób jej wyświetlania.

Klikając Pełny ekran przechodzimy do trybu pełnoekranowego (powrót - klawisz escape).

Wersje offline, niewymagające połączenia z internetem

Dostępne są również wersje symulacji niewymagające połączenia z internetem.

Aplikacja PhET Desktop zawiera wszystkie symulacje HTML5 i Java, w tym ich tłumaczenia, do użytku offline w systemach Windows i macOS (dostępne po zalogowaniu tu). Symulacje HTML5 nie wymagają dodatkowego oprogramowania, natomiast do uruchamiania dowolnych symulacji Java w aplikacji komputerowej jest wymagany Java SE Development Kit 8.

Za symboliczną opłatą możemy pobrać w postaci jednej aplikacji wszystkie materiały PhET, które zostały opublikowane w html5. Telefony, tablety i Chromebooki (z systemem Android): Google Play. iPhone'y i iPady (aplikacja na iOS): App Store

Darmową wersję desktopową tej aplikacji pobierzemy bezpośrednio klikając tu - wersja _pl zawiera polską (domyślną) i angielską wersję językową i tu - wersja _all zawiera angielską (domyślną) i wszystkie inne dostępne wersje językowe lub ze strony PhET (klikając przycisk ze strzałką przy wybranej wersji językowej):

Uproszczenia / założenia modelu

• Jako separator dziesiętny używana jest kropka.
• W modelu zastosowano standardową metodę najmniejszych kwadratów w celu określenia linii najlepszego dopasowania serii punktów danych. Reszta to różnica między zmierzoną wartością y punktu danych a wartością uzyskaną w wyniku dopasowania liniowego. Kwadrat reszty to po prostu kwadratowa wartość reszty. Linię najlepszego dopasowania wyznacza się poprzez minimalizację sumy kwadratów reszt.
• Wartość r - współczynnik korelacji Pearsona- mieści się w zakresie od -1 do 1 włącznie i jest miarą korelacji pomiędzy zmiennymi x i y. W naszym modelu wartość r obliczana jest w oparciu o definicję współczynnika korelacji Pearsona dla próby (w odróżnieniu od współczynnika korelacji Pearsona w populacji).
• Informacje dotyczące założeń modelu znajdują się tu (en)

Sugestie dotyczące wykorzystania

Wskazówki dotyczące wszystkich symulacji zawarte są w informacjach ogólnych.

Więcej porad dotyczących korzystania z symulacji z uczniami można znaleźć na stronach PhET w sekcji Wskazówki dotyczące korzystania z PhET.

Przykładowe polecenia

• Utwórz własny zestaw danych z...
• dodatnim współczynnikiem korelacji.
• ujemnym współczynnikiem korelacji.
• zerowym współczynnikiem korelacji.
• Utwórz własny zestaw danych z powiązaniem liniowym. Spróbuj dopasować do niego linię za pomocą elementów sterujących Moja linia, wyjaśnij, co zdecydowało o wyborze ostatecznej linii, a następnie wyświetl linię najlepszego dopasowania, aby zobaczyć, jak blisko udało Ci się znaleźć.
• Utwórz własny zestaw danych i wyświetl najlepiej dopasowaną linię. Wybierz punkt do przeciągnięcia i obserwuj, jak zmiana jego położenia wpływa na najlepiej dopasowaną linię.
• Dla każdego zestawu danych w menu określ, czy dopasowanie liniowe jest odpowiednie i uzasadnij swoją odpowiedź.
• Dlaczego ten typ regresji nazywamy regresją metodą najmniejszych kwadratów?

Zobacz wszystkie opublikowane na stronach PhET aktywności dla Regresja metodą najmniejszych kwadratów tutaj (dostęp do materiałów wymaga zalogowania).