Twierdzenie Pitagorasa

Zagadnienia

• Trójkąt
• Trójkąt prostokątny
• Twierdzenie Pitagorasa

Opis

Materiały dotyczące konstruowania trójkąta prostokątnego i ustalania związku między długościami jego boków za pomocą narzędzia sketchometry (Center for Mobile Learning with Digital Technology, University of Bayreuth).
Koncepcja modułów nauczania sketchometry - podzielonych na fazy konstruowania, badania, odręcznej dokumentacji, dyskusji i prezentacji - ma na celu promowanie samodzielnej pracy i uczenia się opartego na dociekaniu. Uczniowie otrzymują papierowy arkusz roboczy z zadaniami i poleceniami dostosowanymi do ich poziomu i używają tabletu lub smartfona jako elektronicznego szkicownika. Swoje obserwacje, odkrycia i założenia zapisują odręcznie w arkuszu wyników lub w zeszycie. Więcej informacji tu (en).
Poniższe materiały mają za zadanie jedynie ułatwić nauczycielowi przygotowanie zróżnicowanych scenariuszy zajęć, zgodnych z tą koncepcją, dostosowanych do poziomu klasy czy indywidualnego ucznia lub ułatwić wykorzystanie gotowych kostrukcji podczas wykładu i nie powinny być traktowane jako instrukcja dla ucznia.

W opracowaniu niniejszego poradnika wykorzystano materiały zawarte na stronie źródłowej sketchometry.

W szablonie strony wykorzystano kod html/css: phydemo.app.

Poziom

Szkoła podstawowa, szkoła średnia

Wymagania wstępne i przykładowe cele nauczania

• Uczniowie wiedzą, że jeśli jeden bok trójkąta jest średnicą okręgu opisanego na nim, to jest to trójkąt prostokątny.
• Wiedzą, że w trójkącie prostokątnym bok przeciwległy do kąta prostego nazywa się przeciwprostokątną, a pozostałe dwa boki nazywane są przyprostokątnymi.
• Uczniowie konstruują kwadraty na bokach trójkąta prostokątnego.
• Mierząc, odkrywają, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

Przykładowe materiały teoretyczne

• Twierdzenie Pitagorasa (ZPE)
• Twierdzenie Pitagorasa (ZPE)
• Twierdzenie Pitagorasa (ZPE)
• Twierdzenie Pitagorasa (ZPE)
• Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa (ZPE)
• Rozpoznawanie rodzaju trójkąta z wykorzystaniem twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa (ZPE)

Uczniowie powinni wiedzieć

• jak narysować punkt
• jak narysować odcinek o danych końcach
• jak znaleźć środek odcinka
• jak narysować okrąg o danym promieniu AS
• jak narysować kwadrat o danym boku, (Geometria → Wielokąty foremne → Kwadrat → dotknij dwóch punktów).
• jak jak mierzyć pola powierzchni i sumę dwóch pól powierzchni
• Zmierz → Zmierz → dotknij obszaru i przeciągnij okienko pomiaru w wygodne miejsce
• Zmierz → Obliczenia → Suma → dotknij obszarów lub okienek z pomiarami → dotknij tablicy w wolnym miejscu
• Jak odłączyć punkt (ślizgający się) od linii okręgu (dotknij punktu i przytrzymaj go 3s → przeciągnij do wolnego miejsca).

Arkusz roboczy

Konstrukcja

• Skonstruuj odcinek AB.
• Wyznacz środek odcinka AB i oznacz go literą S.
• Narysuj okrąg o środku w punkcie S i promieniu SB.
• Na okręgu, nad średnicą AB, zaznacz punkt C i narysuj odcinki AC i BC będące przyprostokątnymi powstałego trójkąta prostokątnego ABC (o przeciwprostokątnej AB).
• Na bokach trójkąta ABC skonstruuj kwadraty (leżące na zewnątrz trójkąta) i oznacz je np. P1, P2, P. Zmień kolor kwadratu opartego na przeciwprostokątnej na zielony.
• Zmierz pole zielonego kwadratu i sumę pól dwóch niebieskich kwadratów.

Badanie

• Porównaj pomiary. Przesuń punkt 𝐶 na okręgu i/lub zmień położenie wierzchołków 𝐴 i 𝐵. Jakie są Twoje przypuszczenia? Zrób notatki.
• Niech 𝑎 i 𝑏 oznaczają długości przyprostokątnych trójkąta, a 𝑐 długość przeciwprostokątnej. Sformułuj swoje przypuszczenie za pomocą tych liter. Nie zapomnij o warunku wstępnym dotyczącym trójkąta.
• Oderwij punkt 𝐶 od linii okręgu i przesuń go do wewnątrz i na zewnątrz okręgu. Porównaj ponownie sumę pól niebieskich obszarów z polem zielonego obszaru. Zapisz swoje obserwacje.
• Zmieniaj kształt trójkąta przeciągając dowolny z jego wierzchołków i obserwuj zmiany długości tych odcinków i związek między nimi. Czy powyższa relacja jest zachowana?
• Sformułuj wnioski dotyczące kwadratów długości boków trójkąta prostokątnego, ostrokątnego i rozwartokątnego w postaci odpowiednich równań i nierówności.

Dodatkowe informacje

Wskazówki dotyczące wszystkich symulacji zawarte są w Informacje ogólne, a poradnik dotyczący korzystania ze Sketchometry w Instrukcje - linki na górze strony.