Interferencja fal i częstotliwość dudnień
Interaktywne demo, które pozwala zobaczyć i usłyszeć wynik dodania dwóch fal sinusoidalnych o różnych częstotliwościach.
Demo powyżej pokazuje dwa sinusoidalne przebiegi falowe, oznaczone kolorem niebieskim i czerwonym. Równania tych linii to:
\[ y_1 = \sin{(2\pi f_1 t)} \] \[ y_2 = \sin{(2\pi f_2 t)} \]gdzie częstotliwości każdej fali wynoszą odpowiednio \( f_1 \) i \( f_2 \), a \( t \) to czas. Możesz zmienić częstotliwości fal, dopasowując odpowiednie położenie suwaka. Amplituda obu fal wynosi 1.
Nie należy się niepokoić tym, że niebieska fala jest powyżej czerwonej - jest to tylko jeden z wielu sposobów wyświetlania wielu przebiegów. Jeśli uznasz to za użyteczne, możesz nałożyć fale, zaznaczając pole wyboru "Nałóż fale". Demo można również powiększać i pomniejszać wzdłuż osi czasu, regulując suwak powiększenia (zoom).
Demo wyświetla trzecią falę (w kolorze fioletowym), która jest wynikiem superpozycji fali niebieskiej i czerwonej. Aby uzyskać wychylenie fioletowej fali w dowolnym momencie, wystarczy dodać wychylenia niebieskiej i czerwonej fali w tym czasie. Matematycznie można to zapisać jako:
\[ y_{1+2} = y_1 + y_2 = \sin{(2\pi f_1 t)} + \sin{(2\pi f_2 t)} \]Możesz usłyszeć, jak to brzmi, zaznaczając pole "Dźwięk wł./wył". (Niestety, niektóre starsze przeglądarki i wersje przeglądarki Internet Explorer mogą nie obsługiwać tej funkcji).
Gdy \( f_1 \) i \( f_2 \) są zbliżone, trudno jest usłyszeć dwa odrębne tony, a zamiast tego wydają się scalać w jeden ale z natężeniem oscylującym w górę i w dół - zjawisko to znane jest jako dudnienie, a częstotliwość, z jaką oscyluje amplituda dźwięku, określana jest jako "częstotliwość dudnień". Możemy wyjaśnić ten efekt w kategoriach matematycznych, biorąc pod uwagę tożsamość trygonometryczną \[ \sin{(x)} + \sin{(y)} = 2 \sin{\left(\frac{x+y}{2}\right)}\cos{\left(\frac{x-y}{2}\right)} \]
Możemy wykorzystać to do zapisania równania dla \( y_{1+2} \) w postaci iloczynu zamiast sumy
\[ y_{1+2} = 2 \sin{\left[2\pi\frac{f1+f2}{2}t\right]}\cos{\left[2 \pi\frac{f1-f2}{2}t\right]} \]To równanie pokazuje, że \( y_{1+2} \) odpowiada fali sinusoidalnej o częstotliwości równej średniej arytmetycznej \( f_1 \) i \( f_2 \) i zmieniającej się okresowo amplitudzie (znacznie wolniej) z częstotliwością równą połowie różnicy \( f_1 \) i \( f_2 \). To ten drugi czynnik jest odpowiedzialny za zmiany amplitudy, których efektem są dudnienia, a jego moduł pomnożony przez 2 jest znany jako obwiednia. (Więcej informacji na ten temat w demo modulacja amplitudy .)
Warto zauważyć, że obwiednia dwa razy osiąga zero w ciągu każdego okresu, więc częstotliwość modulacji głośności jest dwukrotnie większa od częstotliwości zmian drugiego czynnika, a więc równa różnicy częstotliwości interferujących fal.
\[ f_{beat} = \left| f_1 - f_2 \right| \]Aby usłyszeć to w akcji, spróbuj ustawić suwaki częstotliwości na wartości, które różnią się o 1 Hz, a pulsy, które słyszysz, powinny pojawiać się dokładnie raz na 1 sekundę. Jeśli ustawisz różnicę na 2 Hz, wystąpią dwa pulsy w ciągu każdej sekundy, i tak dalej.