Dyskretne i ciągłe

Dyskretna

Ciągła

Dyskretna zmienna losowa ma zbiór wszystkich wartości, które przyjmuje z niezerowym prawdopodobieństwem skończony lub przeliczalny. Wybierz jeden z następujących głównych rozkładów dyskretnych do zbadania. Funkcja masy prawdopodobieństwa jest pokazana na niebiesko, a dystrybuanta na zielono (sterowana suwakiem).

Rozkład zero-jedynkowy jest rozkładem prawdopodobieństwa dla którego zmienna losowa przyjmuje tylko wartości 1 z prawdopodobieństwem sukcesu \(p\) i 0 z prawdopodobieństwem porażki \(1-p\). Często jest używany do reprezentowania doświadczeń o dwóch możliwych wynikach, jak np. w rzucie monetą.

Rozkład dwumianowy opisuje wynik \(n\) niezależnych prób Bernoulliego o prawdopodobieństwie sukcesu \(p\). Często stosuje się go do opisania liczby sukcesów w określonej liczbie identycznych doświadczeń o dwóch możliwych wynikach, np. liczba uzyskanych orłów w pięciu rzutach monetą.

Rozkład Pascala (ujemny rozkład dwumianowy) jest rozkładem prawdopodobieństwa liczby sukcesów w sekwencji niezależnych prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu \(p\) przed wystąpieniem \(r\) porażek. Na przykład rozkład ten mógłby być użyty do modelowania liczby wyrzuconych orłów zanim wypadną trzy reszki w sekwencji rzutów monetą.

Rozkład geometryczny jest rozkładem prawdopodobieństwa tego, że pierwszy sukces wystąpi po dokładnie \(k\) porażkach w sekwencji niezależnych prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu \(p\). Na przykład ten rozkład może być użyty przy określeniu liczby rzutów kostką zanim wypadnie pierwsza szóstka.

Rozkład Poissona opisuje prawdopodobieństwo wystąpienia określonej liczby zdarzeń w ustalonym przedziale czasu i/lub przestrzeni, jeśli zdarzenia te występują ze znaną średnią częstotliwością - oczekiwana liczba zdarzeń w danym przedziale \(\lambda\) i w sposób niezależny od czasu jaki upłynął od ostatniego zajścia takiego zdarzenia. Ten model jest wykorzystywany do modelowania zdarzeń, takich jak deszcz meteorytów czy gole w meczu piłki nożnej.

Rozkład jednostajny to ciągły rozkład, dla którego gęstość prawdopodobieństwa w przedziale od a do b jest stała i różna od zera, a poza nim równa zeru. Istnieje też wersja dyskretna tego rozkładu. Na przykład ten rozkład może być użyty do modelowania dat urodzin osób, gdzie zakłada się, że wszystkie czasy są równie prawdopodobne.

Rozkład normalny (lub Gaussa) Jest wykorzystywany w naukach przyrodniczych i społecznych do reprezentowania rzeczywistych wartości zmiennych losowych, których rozkłady nie są znane. Na przykład rozkład normalny mógłby być wykorzystany do modelowania wysokości osób, gdzie przyjmuje się, że większość osób oscyluje wokół tej samej wysokości.

Rozkład t-Studenta, lub po prostu rozkład t, pojawia się przy estymowaniu średniej rozproszonej populacji w sytuacjach, gdy wielkość próby jest niewielka, a odchylenie standardowe populacji jest nieznane.

Rozkład chi kwadrat to rozkład zmiennej losowej, która jest sumą k kwadratów niezależnych zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym. Liczbę naturalną k nazywa się liczbą stopni swobody rozkładu zmiennej losowej. Jest on często używany przy testowaniu hipotez i wyznaczaniu przedziałów ufności.

Rozkład wykładniczy jest ciągłym odpowiednikiem rozkładu geometrycznego. Często jest używany przy modelowaniu przedziałów czasu między niezależnymi zdarzeniami, takimi jak rozpady promieniotwórcze jąder.

Rozkład F Snedecora pojawia się często jako hipotetyczny rozkład statystyk testowych, szczególnie w analizie wariancji.

Rozkład gamma jest ogólną rodziną ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa stosowanych często do modelowania danych, które mogą mieć rozkład skośny. Rozkład wykładniczy i rozkład chi kwadrat to szczególne przypadki rozkładu gamma.

Rozkład beta jest ogólną rodziną ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa danych funkcją gęstości zdefiniowaną na przedziale [0,1]. Rozkład beta jest często używany jako rozkład aprioryczny sprzężony w statystyce w ujęciu Bayesowskim.

Funkcja masy prawdopodobieństwa Funkcja gęstości prawdopodobieństwa	Wartość oczekiwana	Wariancja
\(f(x;p) = \begin{cases} p & \text{if } x = 1 \\ 1-p & \text{if } x = 0 \end{cases}\) \( f(x; n,p) = \binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}\) \(f(x; n,r,p) = \binom{x + r -1}{x}p^{x}(1-p)^{r}\) \( f(x; p) = (1-p)^{x}p\) \( f(x;\lambda) = \dfrac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!}\) \(f(x;a,b) = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{1}{b-a} \text{ for } x \in [a,b]\\ 0 \qquad \text{ otherwise } \end{array}\right.\) \( f(x;\mu, \sigma^2) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}} e^{-\dfrac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\) \(\dfrac{Z}{\sqrt{U/k}} \qquad \begin{array}{ll} Z \sim N(0,1)\\ U \sim \chi_{k} \end{array}\) \(\sum_{i=1}^{k}Z_{i}^{2} \qquad Z_{i} \overset{i.i.d.}{\sim} N(0,1)\) \( f(x;\lambda) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & \text{if } x \geq 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \) \(\dfrac{U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}} \qquad \begin{array}{ll} U_{1} \sim \chi_{d_{1}}\\ U_{2} \sim \chi_{d_{2}} \end{array}\) \( f(x; k,\theta) = \dfrac{1}{\Gamma(k)\theta^{k}}x^{k-1}e^{-\dfrac{x}{\theta}}\) \(f(x;\alpha,\beta) = \dfrac{\Gamma(\alpha + \beta)x^{\alpha - 1}(1-x)^{\beta - 1}}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\)	\(p\) \(np\) \(\dfrac{pr}{1-p}\) \(\dfrac{1}{p}\) \(\lambda\) \(\dfrac{a+b}{2}\) \(\mu\) \(0\) \(k\) \(\frac{1}{\lambda}\) \(\dfrac{d_{2}}{d_{2}-2}\) \(k\theta\) \(\dfrac{\alpha}{\alpha + \beta}\)	\(p(1-p)\) \(np(1-p)\) \(\dfrac{pr}{(1-p)^{2}}\) \(\dfrac{1-p}{p^{2}}\) \(\lambda\) \(\dfrac{(b-a)^{2}}{12}\) \(\sigma^{2}\) \(\dfrac{k}{k-2}\) \(2k\) \(\frac{1}{\lambda^{2}}\) \(\dfrac{2d_{2}^{2}(d_{1} + d_{2} -2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}\) \(k\theta^{2}\) \(\dfrac{\alpha\beta}{(\alpha + \beta)^{2}(\alpha + \beta + 1)}\)

\(\large p\) = 0.5

\(\large n\) = 5
\(\large p\) = 0.5

\(\large r\) = 5
\(\large p\) = 0.5

\(\large p\) = 0.5

\(\large\lambda\) = 5

\(\large a\) = -5
\(\large b\) = 5

\(\large \mu\) = 0
\(\large \sigma\) = 1

\(\large k\) = 5

\(\large \lambda\) = 5

\(\large d_{1}\) = 5
\(\large d_{2}\) = 5

\(\large k\) = 5
\(\large \theta\) = 5

\(\large \alpha\) = 5
\(\large \beta\) = 5

Rozkłady prawdopodobieństwa

Zmienna losowa