Sketchometry - Instrukcje dla użytkownika

Zagadnienia

• Planimetria
• Konstrukcje geometryczne
• Wykresy funkcji

 

Spis rozdziałów

• Wstęp
• Interfejs użytkownika
• Pierwsze kroki - warsztat
• Narzędzie do szkicowania
• Okrąg opisany na trójkącie
• Prosta prostopadła i okrąg opisany
• Okrąg wpisany w trójkąt
• Inny punkt widzenia – styczne
• Wariacje
• Czworokąty styczne do okręgu
• Pomiar
• Obliczenia
• Co dalej?
• Przeciągaj i konstruuj
• Właściwości
• Przecięcie się więcej niż dwóch obiektów
• Punkty ślizgające się i punkty zależne
• Autor
• Przykładowe scenariusze i konstrukcje

 

Wstęp

Dynamiczne oprogramowanie matematyczne do wizualizacji relacji geometrycznych jest z powodzeniem stosowane na lekcjach matematyki od wielu lat. Sketchometry to oprogramowanie oparte na gestach, które pozwala szybko i łatwo tworzyć i eksplorować interaktywne konstrukcje za pomocą palca na tablecie, smartfonie lub multimedialnej tablicy. Innowacyjne sterowanie gestami zamienia urządzenia mobilne w elektroniczne narzędzie do szkicowania, z którego można korzystać bezpośrednio w klasie. Sketchometry jest dostępne bezpłatnie jako aplikacja lub bezpośrednio jako wersja na żywo (kod QR) w przeglądarce. Dostępne w kilku językach, w tym po polsku! Konstrukcje można wygodnie zapisywać w chmurze lub na komputerze.

Krótki, zwięzły i przejrzysty – informator i jednocześnie warsztat sketchometry Geometria palcem wyjaśnia krok po kroku, jak używać sketchometry jako narzędzia do szkicowania na lekcjach geometrii.

Podstawowe gesty są szczegółowo wyjaśnione na praktycznych przykładach. Podano również informacje ogólne na temat nauczania i uczenia się za pomocą sketchometry.

W opracowaniu niniejszego poradnika wykorzystano materiały Sketchometry.

W szablonie strony wykorzystano kod html/css: phydemo.app.

 

Interfejs użytkownika

Narzędzie jest bardzo intuicyjne i już po kilku minutach jesteśmy w stanie skutecznie bawić się geometrią, wykorzystując jego podstawowe możliwości i, w miarę używania, rozszerzać je o bardziej zaawansowane funkcjonalności.

Lewa strona tablicy do szkicowania

Tablica to podstawowy element sketchometry. Tu za pomocą odpowiednich gestów i dodatkowych narzędzi tworzymy konstrukcje geometryczne. Poszczególne tablice/konstrukcje automatycznie zapisywane są w Galerii. Na środku tablicy w tle pokazywany jest symbol wybranego aktualnie narzędzia/trybu pracy.

Prawa strona tablicy do szkicowania

Tu, oprócz paska narzędziowego, widoczny jest pasek menu i nawigacyjny. Ten układ interfejsu można dowolnie zmieniać w ustawieniach, dostosowując go do swoich potrzeb.

Galeria

Kliknięcie ikony z domem przenosi nas do galerii. W galerii zapisane są wszystkie foldery i tablice, które utworzyliśmy. Tablice zapisują się automatycznie ale jeśli wyczyścimy przeglądarkę, pliki zostaną usunięte, o ile nie zaznaczymy, że mają być zachowane. Dlatego jeśli chcemy je zachować na dłużej lub udostępnić, należy szkic pobrać w postaci pliku .sketcho.

Galeria (po kliknięciu przycisku Wybierz)

Zamiast przycisku Wybierz można od razu zaznaczyć folder lub tablicę, klikając na nim prawym przyciskiem myszy.

 

Pierwsze kroki - warsztat

Warsztat ten wprowadza krok po kroku do koncepcji i daje przykłady wykorzystania sketchometry na zajęciach z geometrii. Jego ukończenie zajmuje około 90 minut.
Dla każdego z poszczególnych przykładów używana jest nowa plansza, którą można otworzyć w galerii sketchometry poprzez Nowa tablica.

Dostęp do galerii sketchometry można uzyskać za pomocą ikony na pasku menu.

 

Narzędzie do szkicowania

Naszkicuj okrąg palcem lub za pomocą myszy na tablicy. Nazwa rozpoznanego obiektu - Okrąg jest wyświetlana na pasku informacyjnym. Gdy tylko podniesiesz palec, pojawi się okrąg i jego środek.

Szczególna cecha sketchometry: Nie trzeba wcześniej wybierać własnego narzędzia okrąg. sketchometry automatycznie rozpoznaje szkic palcem (= gest). Położenie okręgu można zmienić palcem, przeciągając linię okręgu lub punkt środkowy. Rozmiar okręgu można zmienić dwoma palcami: Dotknij linii okręgu w dwóch punktach i przesuń palce do siebie lub od siebie, podobnie jak podczas powiększania zdjęć na smartfonie.

Wstępne doświadczenie można zdobyć, wykonując następujące zadanie:

• Narysuj dwa okręgi i zbadaj ich wzajemne położenie. Aby to zrobić, zmieniaj położenie i rozmiar okręgów.

Przesuwając, powiększając i zmniejszając okręgi, uczniowie obserwują i opisują różne przypadki ich wzajemnego położenia.

Jeśli chcesz cofnąć ostatni krok konstrukcji - na przykład z powodu nieprawidłowego rozpoznania gestu - możesz to zrobić za pomocą opcji ⤺Cofnij na pasku menu.

 

Okrąg opisany na trójkącie

Jednakże sketchometry oferuje jeszcze więcej. Możesz utworzyć okrąg opisany na trójkącie, po prostu go szkicując. Zacznij od trójkąta na nowej planszy, a następnie narysuj okrąg przechodzący przez wierzchołki trójkąta. Upewnij się, że dotykasz palcem trzech wierzchołków. Zostaną one wyróżnione szarym pierścieniem. sketchometry utworzy okrąg (wraz z punktem środkowym) opisany na tym trójkącie.

Tutaj również nie jest konieczne wybieranie narzędzia do tworzenia okręgu opisanego. Ten bezpośredni sposób tworzenia okręgu opisanego jest przydatny, jeśli jego konstrukcja i właściwości zostały już omówione na zajęciach, i wtedy na przykład poniższe zadanie można wykonać przy użyciu tej konstrukcji:

• Z jakimi rodzajami trójkątów mamy do czynienia, gdy środek okręgu opisanego znajduje się wewnątrz, na zewnątrz lub na jednym z boków trójkąta?

 

Prosta prostopadła i okrąg opisany

Otwórz nową tablicę i wyłącz funkcję Przeciąganie. Umieść dwa punkty A i B na tablicy i połącz je naszkicowanym odcinkiem. Ponownie upewnij się, że dotykasz obu punktów palcem, aby zostały oznaczone:

Najpierw skonstruuj prostą prostopadłą w klasyczny sposób jako zbiór wszystkich punktów, które są w równej odległości od dwóch podanych punktów: Pierwszy okrąg ze środkiem A przebiega przez punkt B i odwrotnie, drugi okrąg przechodzi wokół punktu B przez punkt A.

Tutaj użyjesz innego gestu. Zacznij od pierwszego okręgu z punktem środkowym A. Gest Okrąg (promień) składa się z dwóch części, które należy naszkicować bez przerywania:

1. Rozpocznij gest tuż przed punktem A i przesuń palec obok punktu B. Oba punkty muszą zostać zaznaczone. Oznacza to promień okręgu (patrz gest odcinka).
2. Teraz zakreśl łuk w kształcie ćwierćokręgu bez zatrzymywania się.

Sketchometry rozpoznaje to jako gest Okrąg (promień) i tworzy okrąg. Okrąg o środku w punkcie B przechodzący przez punkt A jest tworzony w ten sam sposób. W następnym kroku stuknij dwa przecięcia okręgów jeden po drugim, a pojawią się punkty przecięcia. Na koniec naszkicuj linię środkową jako linię prostą przechodzącą przez dwa punkty przecięcia. W przeciwieństwie do gestu Odcinek, zaczynasz wyraźnie przed pierwszym punktem (przecięcia) i kończysz wskazaną linię prostą wyraźnie po drugim punkcie (przecięcia).

Na koniec zaznacz punkt przecięcia odcinka linią prostopadłą, która dzieli odcinek na pół (symetralna). Sketchometry nazywa aktywnie utworzone punkty alfabetycznie, zaczynając od A. Dlatego ten punkt przecięcia jest oznaczony jako E.

Możesz zmienić nazwę, rozmiar czcionki, ustawienia kolorów i inne właściwości w dowolnym momencie, używając narzędzia Własności obiektu na pasku narzędzi (poprzez Właściwości). Zmień nazwę punktu E na M. Aby to zrobić, aktywuj narzędzie Własności obiektu i dotknij punktu E. Pojawi się lista wyboru. Wybierz punkt E. sketchometry wyświetla teraz właściwości punktu przecięcia E. Są one podzielone na poszczególne kategorie. Wybierz kategorię Oznaczenie i zmień nazwę E na M.

Zamknij Właściwości za pomocą ✕. Punkt przecięcia oznaczony został teraz literą M.

Na koniec ukryj obiekty pomocnicze (tutaj dwa okręgi i ich punkty przecięcia) za pomocą narzędzia Widoczność. Konstrukcja linii prostopadłej jest teraz ukończona.

Aby znaleźć środek okręgu opisanego na trójkącie, należałoby wykonać tę konstrukcję na co najmniej dwóch bokach trójkąta. Jest to dość czasochłonne i może szybko stać się nieco zagmatwane. Dlatego użyj dwóch gestów sketchometry Punkt środkowy i Linia prostopadła.

Utwórz trójkąt na nowej tablicy, a następnie punkt środkowy boku trójkąta. Gest Punkt środkowy wygląda jak pętla. Podczas szkicowania gestu zaznacz dwa punkty końcowe wybranego boku trójkąta.

Teraz narysuj linię prostopadłą do boku trójkąta przechodzącą przez jego środek (symetralna boku). Oczywiście ponownie za pomocą gestu.

Aby to zrobić, narysuj kąt prosty. Podczas rysowania gestu upewnij się, że zaznaczono punkt środkowy na zgięciu gestu (szary pierścień).

Powtórz te dwa kroki dla pozostałych dwóch boków trójkąta.

Ta procedura jest znacznie szybsza i bardziej przejrzysta niż budowa krok po kroku. Istnieje jednak jeszcze prostszy sposób:

Zamiast gestów Punkt środkowy i Linia prostopadła użyj gestu Symetralna, jak pokazano na rysunku.

Trzy symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Aktywuj Przeciąganie i zmień położenie wierzchołków trójkąta. Wyjaśnienie właściwości przecięcia powinno zostać omówione na zajęciach. Na koniec należy utworzyć punkt środkowy i okrąg opisany. Stuknij w przecięcie prostopadłych linii. Sketchometry może wyświetlić listę wyboru z opcjami przecięcia. Aby zakończyć, narysuj okrąg opisany za pomocą gestu Okrąg (promień).

Teraz konstrukcja jest ukończona. W zależności od wcześniejszej wiedzy uczniów można wybrać odpowiednią opcję konstrukcji: albo podejście krok po kroku, albo gotowe narzędzie gestu.

 

Okrąg wpisany w trójkąt

Zmiana perspektywy:
Następny przykład dotyczy okręgu wpisanego. W klasie można zadać następujące pytanie:

• Czy istnieje okrąg, który dotyka wszystkich trzech boków trójkąta od wewnątrz?

Uczniowie mogą zbadać to pytanie, stosując następującą procedurę: Narysuj trójkąt i okrąg. Dwoma palcami ustaw okrąg tak, aby dotykał trzech boków trójkąta.

Oczywiście, to nie jest konstrukcja. Tutaj sketchometry jest ponownie używane jako narzędzie do szkicowania: zmień kształt trójkąta i zmień położenie okręgu. Założenie: Zawsze będzie okrąg, który ma pożądaną właściwość. Konstrukcja okręgu wpisanego jest teraz rozwijana krok po kroku.
Na nowej planszy najpierw rozważ dwie przecinające się proste i zaznacz punkt przecięcia. Narysuj okręgi o różnych promieniach i ustaw je tak, aby dotykały obu prostych:
Środki okręgów są równoodległe od dwóch linii prostych (promień!). Narysuj linię prostą, która przebiega przez przecięcie tych dwóch linii i jeden ze środków okręgu.
Możliwe polecenia robocze:

• Co udało się ustalić?
• Jaką własność ma ta prosta w odniesieniu do dwóch wyjściowych prostych?
• Uzasadnij swoje przypuszczenia!

Biorąc pod uwagę powyższe rozważania, znaczenie dwusiecznej kąta dla konstrukcji okręgu wpisanego staje się jasne.
Otwórz nową planszę i dezaktywuj Przeciąganie. Aby ułatwić konstruowanie okręgu wpisanego w trójkąt, istnieje prosty gest tworzenia dwusiecznej kąta. Wygląda to jak litera W.
Zgodnie z mottem „blisko obiektu”, podczas rysowania gestu najpierw zaznacz pierwsze ramię kąta, następnie sektor, w którym leży dwusieczna kąta, a na końcu drugie ramię:

Dodaj dwusieczne pozostałych dwóch kątów. Podobnie jak w przypadku symetralnych boków, można wykazać, że dwusieczne kątów przecinają się w jednym punkcie. Zaznacz ten punkt przecięcia. Znajduje się on w tej samej odległości od wszystkich boków trójkąta.

Do narysowania okręgu wpisanego potrzebny jest jeszcze promień. Aby to uzyskać, użyj znanego gestu prostopadłej z niewielką zmianą:
należy rozpocząć gest bezpośrednio w punkcie przecięcia dwusiecznych, a nie przed nim. Oprócz odcinka prostopadłego, sketchometry tworzy również odpowiedni punkt odcinka prostopadłego na okręgu.

Użyj gestu Okrąg (promień), aby utworzyć okrąg wpisany i konstrukcja jest zakończona.

 

Inny punkt widzenia – styczne

Okrąg wpisany dotyka wszystkich trzech boków danego trójkąta. Dany jest okrąg i szukamy trójkąta, którego boki stykają się z tym okręgiem?
Narysuj okrąg na nowej planszy. Ponieważ boki trójkąta mają dotykać okręgu, muszą być styczne do okręgu. Teraz rozważmy dwie opcje:
W przypadku pierwszej opcji znasz już wszystkie niezbędne gesty:

• Umieść punkt na linii okręgu. Pojawi się on jako punkt ślizgający się, który może poruszać się tylko wzdłuż linii okręgu.
• Narysuj promień jako odległość od punktu środkowego do tego punktu.
• Utwórz styczną za pomocą gestu znanego z linii prostopadłej. Upewnij się, że zaznaczyłeś punkt ślizgający się na zagięciu gestu.

Druga opcja z gestem jest o wiele bardziej elegancka:
Teraz naszkicuj wielką literę T na linii okręgu. Kształt litery T wskazuje kierunek stycznej, a także kierunek promienia.

Gest jest łatwy do zapamiętania. Działa on również w przypadku wykresów funkcji i krzywych. Wraz ze styczną, sketchometry tworzy również punkt styczności jako punkt ślizgający. Po dodaniu trzech stycznych do okręgu zaznacz punkty ich przecięcia. Na koniec narysuj trójkąt, którego wierzchołkami będą te trzy punkty przecięcia, aby zaznaczyć obszar trójkąta.

Pierwotny okrąg jest teraz okręgiem wpisanym w trójkąt. Zmień położenie punktów i obserwuj konstrukcję.

 

Wariacje

Teraz ustaw trzy punkty ślizgające się (punkty styczności) tak, aby znajdowały się tylko w jednej połówce okręgu:

Co się dzieje? A przede wszystkim, dlaczego? Powstaje tzw. okrąg dopisany do trójkąta, co prowadzi do dalszych pytań:

• Jak można skonstruować taki okrąg?
• Ile takich okręgów ma trójkąt?
• Jaki jest związek między okręgiem wpisanym a okręgami dopisanymi do trójkąta?

Pytania te stanowią podstawę do różnicowania na przykład w klasie. Zasadniczo podejście do okręgów jest zorientowane na podejście do okręgu wpisanego, ale jest też coś nieco bardziej wymagającego.

 

Czworokąty styczne do okręgu

Teraz narysuj cztery styczne do okręgu zamiast trzech. Użyj punktów przecięcia stycznych, aby utworzyć czworokąt, tzw. czworokąt opisany na okręgu.

• Zmodyfikuj czworokąt tak, aby uzyskać kwadrat lub romb.
• Czy są jakieś inne specjalne kształty czworokątów, które można utworzyć w ten sposób?
• Wyjaśnij, dlaczego nie możesz utworzyć prostokąta o różnych długościach boków?
• Czy są jakieś czworokąty, które mają zarówno okrąg wpisany, jak i okrąg opisany?

Tutaj również zmień punkt widzenia. Naszkicuj czworokąt na nowej tablicy, narysuj dodatkowy okrąg i spróbuj umieścić go tak, aby dotykał wszystkich czterech boków czworokąta. W porównaniu do trójkąta, nie zawsze istnieje rozwiązanie. Dlatego warto również przeanalizować różne kształty czworokątów.

Okrąg musi być wielokrotnie przemieszczany. Uczniowie omawiają swoje obserwacje. Tutaj używają sketchometry jako narzędzia do szkicowania.

 

Pomiar

Oprócz licznych gestów, sketchometry oferuje również różne narzędzia pomiarowe: narysuj trójkąt i zaznacz jego kąty wewnętrzne. Jak?
W ten sam sposób, jak na tablicy: naszkicuj łuk od pierwszego ramienia kąta do drugiego ramienia. Zwróć uwagę, że sketchometry zawsze odlicza kąty przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Dodaj również pozostałe dwa kąty wewnętrzne:

Po utworzeniu obiektu kątowego można określić jego miarę. Aby to zrobić, aktywuj narzędzie Zmierz na pasku narzędzi.

Stuknij w kąt, aby wyświetlić pomiar. Dopóki funkcja Zmierz jest aktywna, można dodawać kolejne obiekty pomiarowe, a także przeciągać je (bez konieczności przełączania się na funkcję Przeciąganie).

Gdy tylko mierzony obiekt zostanie zmodyfikowany, wynik zostanie automatycznie dostosowany. Sketchometry otwiera okno listy, jeśli istnieje kilka obiektów, które można zmierzyć w miejscu dotknięcia. Długości i powierzchnie są mierzone w ten sam sposób:

• Aktywuj Zmierz.
• Stuknij obiekt, który ma zostać zmierzony (i w razie potrzeby wybierz go z listy).

 

Obliczenia

Oprócz funkcji Zmierz, sketchometry umożliwia także wykonywanie obliczeń:

• Suma


• Różnica


• Iloczyn


• Iloraz

W powyższym przykładzie określ sumę kątów trójkąta. Aby to zrobić, aktywuj Suma na pasku narzędzi i stuknij kolejno trzy pomiary. Na pasku informacji pojawi się podgląd: Następnie kliknij wolne miejsce na tablicy. Pojawi się suma pomiarów.

Jednak narzędzia , , i są jeszcze bardziej elastyczne. Na przykład za pomocą narzędzia Iloraz można również klikać bezpośrednio na obiekty i nie trzeba najpierw tworzyć indywidualnych pomiarów, jak pokazuje poniższy przykład:
Umieść trzy punkty na nowej planszy, wybierz narzędzie Równoległobok i stuknij punkty jeden po drugim. Pojawi się równoległobok. Teraz wybierz narzędzie Iloraz i dotknij najpierw obszaru równoległoboku (dzielna), a następnie boku (podstawy) równoległoboku (dzielnik). Umieść wynik (= iloraz) na planszy. Wskazuje on długość wysokości równoległoboku.

Wreszcie obliczenia mogą być także częścią innych obliczeń.

 

Perspektywy

Warsztaty te zapewniają pierwszy wgląd w pracę z narzędziem szkicowania sketchometry i mają za zadanie ułatwić nauczycielowi wprowadzenie jego funkcjonalności w klasie. Oprócz licznych gestów geometrycznych dostępne są również narzędzia do rachunku różniczkowego i całkowego. Na przykład trójkąt nachylenia można łatwo naszkicować na interaktywnym wykresie funkcji. W miarę oswajania się uczniów z narzędziem warto te bardziej zaawansowane funkcje sygnalizować. Przegląd gestów przydatny w klasie jest dostępny z poziomu samego narzędzia, na pasku Menu, pod znakiem zapytania. Nieco bardziej rozbudowany, z możliwością wyświetlania w dużym formacie - przydatny dla naczyciela podczas prezentacji, czy instruowania uczniów w klasie - dostępny pod linkiem na górze strony.

 

Przykładowe scenariusze i konstrukcje

Spis przykładowych scenariuszy i konstrukcji sketchometry dostępnych na portalu edukator.pl

Fascynująco proste. Po prostu fascynujące - to jest motto sketchometry. Zgodnie z nim to intuicyjne narzędzie pozwala dać uczniom maksimum przestrzeni do własnych poszukiwań, odkryć i wyciągania samodzielnych wniosków. Stworzone do uczenia się w oparciu o samodzielne dociekanie (inquiry-based learning), wymaga jedynie dyskretnego nadzoru i ukierunkowania ze strony nauczyciela, zamiast przytłaczających szczegółowych instrukcji i poleceń.
Poniższe przykładowe materiały mają za zadanie jedynie ułatwić nauczycielowi przygotowanie zróżnicowanych scenariuszy zajęć dostosowanych do poziomu klasy czy indywidualnego ucznia lub ułatwić wykorzystanie gotowych kostrukcji podczas wykładu i nie powinny być traktowane jako instrukcja dla ucznia.